Lösbarkeitskriterien für lineare (m,n)- und (n,n)-Gleichungssysteme

Kriterien	Homogene Gleichungssysteme A·x = 0	Inhomogene Gleichungssysteme A·x = c
Generell gilt	Es gibt eine oder unendlich viele Lösungen. Es existiert mindestens die triviale Lösung  x = 0  (Nullvektor).	Es gibt keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Der Nullvektor  x = 0  kommt als Lösung nicht vor.
Rang(A) Rang(A|c)	Dieser Fall kommt nicht vor, denn es gilt immer:  Rang(A) = Rang(A|0)	Keine Lösung. Denn Rang(A) Rang(A|c) bedeutet, dass eine der Gleichungen äquivalent zu  0 = 1  ist, und damit unerfüllbar.
Rang(A) = Rang(A|c)	Lösbar. Siehe  Rang(A) = n  bzw.  Rang(A) < n.	Lösbar. Siehe  Rang(A) = n  bzw.  Rang(A) < n.
Rang(A) = n (  |A|  0, d.h. A regulär für (n,n)- Gl.systeme)	Eindeutige Lösung: die triviale Lösung  x = 0 , die immer existiert. A ist invertierbar.	Eindeutige Lösung: ein konstanter Lösungsvektor. A ist invertierbar.
Rang(A) < n (  |A| = 0, d. h. A singulär für (n,n)- Gl.systeme)	Zusätzlich zur trivialen Lösung gibt es unendlich viele nichttriviale Lösungen, die sich aus  n - Rang(A)  linear unabhängigen Lösungsvektoren ergeben. A ist nicht invertierbar. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt (eine oder mehrere Zeilen lauten  0 = 0).	Unendlich viele Lösungen. Sie ergeben sich aus  n - Rang(A)  linear unabhängigen Lösungsvektoren und einem speziellen konstanten Lösungsvektor. A ist nicht invertierbar. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt (eine oder mehrere Zeilen lauten  0 = 0).

m	Zahl der Zeilen (Zahl der Gleichungen)
n	Zahl der Spalten (Zahl der Unbekannten)
|A|	Determinante der Matrix A
Rang(A)	Rang der Matrix A = Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von A (= Maximalzahl linear unabhängiger Gleichungen des Gleichungssystems) = Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von A

© 2/1999 M. Rohde